行列式

n阶行列式为n阶数表的排列代数和。

定义

1. n阶行列式每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，共有n!项。
2. 当行下标顺排时，每一项的正负号由列下标排列的逆序数决定。若逆序数为奇数，则此项冠以符号，若逆序数为偶数，则此项冠以正号。
3. 主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式；特别的，主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式。

性质

1. 对换行列式的两行（列），行列式变号。
   • 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。
2. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。
   • 行列式中某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
   • 行列式中有两行（列）成比例，则此行列式的值等于零。
3. 行列式中某行（列）元素都是两个数之和，则此行列式等于将加数拆分后的两个行列式的和。
4. 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
5. 行列式与转置行列式的值相等。

展开法则

行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。

行列式某一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积之和等于零。